Ejercicio de vibración

Para este primer ejercicio se muestra el siguiente sistema de vibración junto con las formulas de las fuerzas que ínter actúan en este..

luego llevamos las ecuaciones a la sumatoria de fuerzas

{f= -kx-c(x'-y')-mx"+f(t)=0

como f es cero, la ecuación diferencial es:

kx+cx'+mx"=cy'

Para cuando las fuerzas interactuan de manera vertical las formulas cambian ya que ahora también se debe tener en cuenta la fuerza de gravedad.

Al despejar esta ecuación la ecuación resultante es:

la función se puede organizar como

x"= (-k/m)x

tenemos que encontrar una función cuya segunda derivada sea negativa dos funciones se ajustan a la solución 

x= Asen(bt)

x= Bcos(bt)

Para encontrar dicha función podemos usar diferentes métodos uno de ellos es a través de un programa con lenguaje python.

Y la otra es a través de:

Equiparando las dos ecuaciones que obtenemos

simplificando la ecuación y agregando las dos ecuaciones tenemos la solución general a nuestro ejercicio, y tenemos

El término b se conoce comúnmente como frecuencia natural, que es la cantidad en el sistema que oscilará después de que la perturbación desaparezca, cuando no haya amortiguación

la forma general de la ecuación es :x=Asen(wt)+Bcos(wt)

pero esta depende de las condiciones iniciales

t=0, x=x0, x'= 0

Al sustituir las condiciones iniciales en la ecuación general se obtendrá la solución particular de la misma.